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By Peter Läuchli (auth.)

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Die soziale Umwelt des Kindes: Eine Ökopsychologische Analyse

Den Kern des vorliegenden Buches bilden empirische Untersuchungen zu den sozialen Netzwerken von Kindern in den ersten funf lebensjahren. Das Forschungsprojekt geht von einem an der okologischen Entwicklungs psychologie orientierten Ansatz aus. Dem empirischen Teil ist eine Diskussion theoretischer Grundlagen und eine Aufarbeitung des Forschungsstandes vorangestellt.

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Doch passen die betreffenden Erorterungen gut in diesen Zusammenhang. Der zentrale Begriff des Kernes findet eine hiibsche Anwendung in der Theorie der Spiele auf einem Graph; und schliesslich fUhren dann die damit eng verbundenen Grundy-Funktionen wieder auf die Farbungen von Graphen zuriick. 1 Einfiihrung Wir bezeichnen im folgenden die Farben mit 0,1, ... ,k - 1. Eine k-Farbung des Graphen Gist also eine Funktion f : X -+ {O, 1, ... , k - I}, welche die obige Bedingung erfUllt. Jede k-Farbung definiert eine Partition von X in k Farbklassen, namlich in Mengen gleichgefarbter Punkte.

Es folgen nun einige Satze: 32 KapiteJ 5. 3 Falls in einem Graph eine Grundy-Funktion existiert, dann existiert auch ein Kern. Beweis: Die Menge der Punkte x, fUr die g(x) = 0 ist, bildet einen Kern. 3. 3. 4 Falls jeder durch eine Punkte- Teilmenge erzeugte Teilgraph einen Kern besitzt, existiert eine Grundy-Funktion. Beweis: Sei Yo ~ X ein Kern von G, YI ein Kern im durch Xl = X - Yo erzeugten Teilgraph, Y 2 ein Kern im durch X 2 = Xl - YI , erzeugten Teilgraph, etc. Da alle Y; :j:. 0 und disjunkt sind, bricht der Prozess abo Man iiberzeugt sich leicht davon, dass die durch g{x} = k ¢} x E Yk definierte Funktion eine Grundy-Funktion ist.

Eine einfache Anwendung bietet der Gray-Code: Definition Eine zyklische Folge, deren Elemente die 2k verschiedenen binaren Worter der Lange k sind (k ~ 1), heisst Gray-Code, falls sich je zwei aufeinanderfolgende Worter in genau einer Stelle unterscheiden. 3 Zu jedem k ~ 1 existiert ein Gray-Code. Beweis: Induktion nach k. Fiir den Induktionsschritt beachte man, dass, falls (aI, ... , a2k) ein Gray-Code ist, dann auch o Die ai konnen, wenn man die Bits als Koordinaten nimmt, als die Ecken eines k-dimensionalen Wiirfels interpretiert werden.

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